Hausdorffの公理系→開集合系の公理
全近傍系\mathcal Nで構成した集合
\mathcal O:=\{O\in2^X\mid\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)\}は、
開集合系の公理を満たす
(O1)
\underline{\iff X\in\mathcal O\quad}_\blacksquare
(O2)\forall O_1,O_2:
O_1,O_2\in\mathcal O
\iff\begin{dcases}\forall x\in O_1:O_1\in\mathcal N(x)\\\forall x\in O_2:O_2\in\mathcal N(x)\end{dcases}
\implies\forall x\in O_1\cap O_2:O_1\in\mathcal N(x)\land O_2\in\mathcal N(x)
\implies\forall x\in O_1\cap O_2:O_1\cap O_2\in\mathcal N(x)
\iff O_1\cap O_2\in\mathcal O
\underline{\implies\forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O\quad}_\blacksquare
(O3)\forall\mathcal O':
\mathcal O'\subseteq\mathcal O
\iff\forall O\in\mathcal O':O\subseteq\bigcup\mathcal O'\land\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)
\iff\forall O\in\mathcal O':O\in2^{\bigcup\mathcal O'}\land\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)
\implies\forall O\in\mathcal O'\forall x\in O:2^{\bigcup\mathcal O'}\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing
\implies\forall O\in\mathcal O'\forall x\in O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal N(x)
\iff\forall x\in\bigcup\mathcal O':\bigcup\mathcal O'\in\mathcal N(x)
\iff \bigcup\mathcal O'\in\mathcal O
\underline{\implies\forall\mathcal O'\subseteq O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O\quad}_\blacksquare