非対称tensorのmohr円
別のページで書いた気もするが……まあいいか
性質メモ
この値は2階tensorの不変量のみで表せるので、2次元2階tensorの不変量にもなる
証明
反対称tensorを用いる
\sout{\det\pmb{\cal W}:\pmb{A}=\det\frac12(\pmb{A}-\pmb{A}^\top)=0\cdot0-\frac12(a_{01}-a_{10})\frac12(a_{10}-a_{01})=\left|\frac12(a_{01}-a_{10})\right|^2}
\sout{\therefore \left|\frac12(a_{01}-a_{10})\right|=\sqrt{\det\pmb{\cal W}:\pmb{A}}}
ミス。正規直交基底でしか成立しない
反対称tensorの対角成分は常に0になると思いこんでいた
成立するのはあくまで\pmb{a}\cdot(\pmb{\cal W}:\pmb{A})\cdot\pmb{a}=0\quad\text{.for}\forall\pmb{a}であって\pmb{e}_i\cdot(\pmb{\cal W}:\pmb{A})\cdot\bar{\pmb{e}}_iではない
対角成分が0になるのは共変tensorか反変tensorか正規直交基底での混合tensorのみ
[\pmb{\cal W}:\pmb{A}]^\mathsf{EE}_{ii}=0は成り立つが[\pmb{\cal W}:\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ii}=0は成り立たない
\detは混合tensor成分で計算するので、正規直交基底でのみ成立するとわかる
最初に思いついた方法
回りくどかった任意の基底で成立するのはこっち
いやまって、これも成立するか微妙だぞ
たとえば\pmb{A}に2次元回転tensorを入れたときの挙動があやしい
[\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}とすると、固有基底\sf Pにて[\pmb{A}]^\mathsf{P\bar{P}}=\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}と表示される
......\frac12(a_{01}-a_{10})が不変量にならなそうなんだが？
そもそも\pmb{A}:\pmb{A}が不変量にならなそう
\pmb{A}:\pmb{A}は不変量とされているのでこの結果はおかしい
複素線型空間の内積を使わないといけないからだ！
複素線型空間を考慮して二重縮合を計算し直す
\pmb{A}:\pmb{A}=|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2
いやー、これ以上展開できないのでは？
つまり、反対称tensorの非対角成分が不変量になるのは、固有値が実数になるtensorに限られる？
条件は
\lambda^2-\mathrm{tr}\pmb{A}\lambda+\det\pmb{A}=0\land\lambda\in\R
\iff(\mathrm{tr}\pmb{A})^2-4\det\pmb{A}\ge0
\iff (a_{00}+a_{11})^2\ge4a_{00}a_{11}-4a_{01}a_{10}
a_{ij}:=[\pmb{A}]^{\sf E\bar{E}}_{ij} とした
\iff (a_{00}-a_{11})^2\ge-4a_{01}a_{10}
\iff (a_{00}-a_{11})^2+4a_{01}a_{10}\ge0
ある混合成分表示での非対角成分が同符号なら、固有値が実数になる
対称行列はこの場合に含まれる
\pmb{A}:\pmb{A}=a_{00}^2+a_{01}^2+a_{10}^2+a_{11}^2
= (a_{00}+a_{11})^2+(a_{01}-a_{10})^2-(2a_{00}a_{11}-2a_{01}a_{10})
=(\mathrm{tr}\pmb{A})^2+4\cdot\left(\frac12(a_{01}-a_{10})\right)^2-2\det\pmb{A}
\therefore \left|\frac12(a_{01}-a_{10})\right|=\frac12\sqrt{\pmb{A}:\pmb{A}+2\det\pmb{A}-(\mathrm{tr}\pmb{A})^2}
この影響で、固有vectorが直角でなくなる
y=0がMohr円の中心を通らなくなるから
Mohr円とy=0が交わらない場合が、対角化不能な場合もしくは固有値が複素数になる場合に相当する
2022-12-21 07:37:48 ほんとにあっているのか疑いを抱いている
数式展開はあっている
座標変換で成分は変わるがtensorは不変が成立していないように思える
実際あってなかった
置き換え思いついた
a_{00}a_{11}=(a_++a_-)(a_+-a_-)={a_+}^2-{a_-}^2
a_{01}a_{10}=(\tau_++\tau_-)(\tau_+-\tau_-)={\tau_+}^2-{\tau_-}^2
\det\pmb{A}=({a_+}^2+{\tau_-}^2)-({a_-}^2+{\tau_+}^2)
これで実非対称tensorの固有方程式を書き換えてみる
\lambda^2-\mathrm{tr}\pmb{A}\lambda+\det\pmb{A}=0
\iff\lambda^2-2a_+\lambda+({a_+}^2+{\tau_-}^2)-({a_-}^2+{\tau_+}^2)=0
\iff(\lambda-a_+)^2=({a_-}^2+{\tau_+}^2)-{\tau_-}^2
\iff\lambda=a_+\pm\sqrt{({a_-}^2+{\tau_+}^2)-{\tau_-}^2}
やっぱりそれでいいんだ。
mohr円とx軸との交点が固有値、交点と円の中心がなす角の半分が固有vectorのなす角になる
3次元2階tensorだとどうなるんだろう？
\det\pmb{A}=a_{00}a_{11}a_{22}+a_{02}a_{10}a_{21}+a_{01}a_{12}a_{20}
-(a_{01}a_{10}a_{22}+a_{02}a_{11}a_{20}+a_{00}a_{12}a_{21})
だから、
\det\pmb{\cal W}:\pmb{A}=\frac12(a_{02}-a_{20})\frac12(a_{10}-a_{01})\frac12(a_{21}-a_{12})+\frac12(a_{01}-a_{10})\frac12(a_{12}-a_{21})\frac12(a_{20}-a_{02})=0
……行列式0、まじか
(\pmb{\cal W}:\pmb{A}):(\pmb{\cal W}:\pmb{A})=\frac12(\pmb{A}-\pmb{A}^\top):\frac12(\pmb{A}-\pmb{A}^\top)=\frac12(\pmb{A}:\pmb{A}-\pmb{A}:\pmb{A}^\top)=\pmb{A}:\pmb{\cal W}:\pmb{A}
=\frac12(a_{02}-a_{20})^2+\frac12(a_{10}-a_{01})^2+\frac12(a_{21}-a_{12})^2
これも不変量なので、3次元2階反対称tensorの独立成分の組は球面上を動くことがわかる
これは、|{\Large\pmb{\epsilon}}:\pmb{\cal W}:\pmb{A}|^2と等しいことからもわかる
3次元vectorの長さは不変量
tensorの随伴量の長さになんらかの制限がありそうだ
\bm a:={\Large\bm\epsilon}:\bm A
|\bm a|^2=\bm A^\top{\Large\bm\epsilon}\cdot{\Large\bm\epsilon}:\bm A=\bm A^\top:{\cal\pmb W}:\bm A=\bm A^\top:\frac12(\bm A-\bm A^\top)=\frac12(\bm A^\top:\bm A-\bm A:\bm A)
いや、単に\frac{{\Large\bm\epsilon}:\bm A}{\sqrt{\frac12(\bm A^\top:\bm A-\bm A:\bm A)}}が単位vectorになることがわかっただけか
正規直交基底の成分表示の場合、
|\bm a|^2=\sum_{ij}\frac12(A_{ji}A_{ij}-{A_{ij}}^2)
= \sum_{i<j}\frac12(-{A_{ij}}^2+2A_{ij}A_{ji}-{A_{ji}}^2)
= -\frac12\sum_{i<j}(A_{ij}-A_{ji})^2
=|{\Large\pmb{\epsilon}}:\pmb{\cal W}:\pmb{A}|^2
この結果は{\Large\bm\epsilon}:{\cal\pmb W}={\Large\bm\epsilon}なので当然
{\Large\bm\epsilon}:{\cal\pmb W}=\frac12({\Large\bm\epsilon}+{\Large\bm\epsilon})={\Large\bm\epsilon}
もしくは
{\Large\bm\epsilon}:{\cal\pmb W}=\frac12{\Large\bm\epsilon}:{\Large\bm\epsilon}\cdot{\Large\bm\epsilon}=\bm I\cdot{\Large\bm\epsilon}={\Large\bm\epsilon}
非直交行列による変換
逆行列かけるんだった
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