確率論を記号論理で形式的に学ぶ
確率変数の紛らわしい記法の解説がわかりやすそう
可測空間(\Omega_A,\mathcal F_A),(\Omega_B,\mathcal F_B)について、\forall B\in\mathcal F_B;X^\gets[B]\in\mathcal F_Aを満たすX:\Omega_A\to\Omega_Bを可測写像と呼ぶ
可測写像の制約条件は確率分布を構成するのに必要だった
なお(\Omega_B,\mathcal F_B,P_B)は確率空間になる
証明：そのうちやる
檜山正幸のキマイラ飼育記ではこれを前送りと呼んでいる
P_B=X_*(P_A)
> Xが測度論的確率変数のとき、確率空間A上の確率測度μAをXで前送りしたX*(μA)は、可測空間(ΩV, ΣV)上の確率測度になります。
例
P_A(A)=\int_A p_A(a)\mathrm da
もう一方の可測空間を(\R,\mathfrak B_B)とする
可測写像をX:\R\to\Rとする
このとき確率分布P_Bは
P_B(B)=P_A(X^\gets[B])=\int_{X(a)\in B}p_A(a)\mathrm da=\int_B\int_\R p_A(a)\delta(b-X(a))\mathrm da\mathrm db
P_B(B)=\int_Bp_B(b)\mathrm db
p_B(b)=\int_\R p_A(w)\delta(b-X(w))\mathrm dw=p_A(X^{-1}(b))
略記法
P_A(X\in B)=P_A(\{a\in\Omega_A|X(a)\in B\})
=P_A(X^\gets[B])
=P_B(B)
確率変数がBの範囲にある確率=確率空間Bにおける事象Bの確率
P_A(X>1)=P_B(\{b\in\Omega_B|b>1\})=P_B({\Omega_B}_{>1})
確率変数が1より大きくなる確率=確率空間Bにて標本点が1より大きくなる事象の確率
P_A(X=1)=P_B(\{1\})
確率変数が1になる確率=確率空間Bでの根元事象\{1\}の確率
E[X]:=\int_{\Omega_A} X(a)p_A(a)\mathrm da=\int_{\Omega_B} bp_B(b)\mathrm db
何がしたいのか
(\Omega_A,\mathcal F_A,P_A)が観測できないが、(\Omega_B,\mathcal F_B)なら観測できる事がある
ここから元の確率を逆算する？
例：(\Omega_B,\mathcal F_B)を降水量、(\Omega_A,\mathcal F_A,P_A)を雨を降らせる現象とする
うーん、例がうまくない……
標本空間が\Rでないときの期待値・確率密度函数はどう定義する？
公理論的確率論ベース
6.1 確率空間とは
6.2 確率変数・可測写像
可測写像の定義にが挙げられているが、有限加法族の定義より\Omega_\bullet\in\mathcal F_\bulletなので不要
いや、いるな
6.3 確率測度の構成・拡張
6.4 確率空間上の積分
6.5 独立性
6.6 条件付確率
1. 事象と確率
2. 確率分布関数・確率密度関数
確率分布函数fの定義
f(x):=P_A(X\le x)=P_B(\R_{\le x})
可測写像がx以下になる事象の確率を確率分布函数と定義する
確率密度函数p_Bとの関係
f(x)=P_B(\R_{\le x})=\int_{b\le x}p_B(b)\mathrm db
\therefore f'(x)=p_B(x)
3. 平均
確率P(A)の定義まで
公理論的確率論には触れていない
確率論の略歴が書かれている
課題プリントを問題集代わりにできそう
公理論的確率論
P:\mathfrak F\to\R_{\ge0}：確率測度
\Omegaが無限空間の場合は、次の連続性の公理も加えるのが一般的
\forall A:\N\to\mathfrak F;(\forall i\in\N;A_{i}\supset A_{i+1})\land\bigcap_{i\in\N} A_i=\varnothing\implies P(A_n)\to0\quad(n\to\infty)
全ての集合に共通要素がない減少列A_iの各確率は0に近づく
これ必要なのか？よくわからない
\mathfrak Fは有限加法族に緩和される
可測空間(\Omega,\mathcal F)
https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20170228/1488276250#確率空間と圏Prob の書き方のほうがすっきりするかも
複数の空間を取り扱いやすい
A=(\Omega_A,\mathcal F_A,\mu_A)
B=(\Omega_B,\mathcal F_B,\mu_B)
...
\Omega=(\underline\Omega,{\cal F}_\Omega,\mu_\Omega)もアリ
Pで確率を測れる事象の集合は完全加法族である
P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{A(B)}
E(X|A):=\frac{E(\omega\mapsto X(\omega)\llbracket\omega\in A\rrbracket)}{P(A)}
E(X)=\sum_iE(X|A_i)P(A_i)
ただし、\bigcup_i A_i=\Omega\land\forall i,j;i\ne j\implies A_i\cap A_j=\varnothingとする
#2024-10-16 21:55:36
#2024-09-30 23:21:43
#2024-03-28 15:34:48
#2024-02-08 19:57:39
#2023-12-15 05:06:46
#2023-12-14 08:44:57
#2023-12-05 09:56:48
#2023-11-26 13:37:24
#2023-11-08 09:30:02