真ん中に集中荷重をかけた単純梁
from 単純梁のモデル
たわみ
次の3式を連立して解いてx\mapsto vを求める
M= -EI\frac{\mathrm{d}^2v}{{\mathrm{d}x}^2}
M:x\mapsto\begin{dcases}\frac{1}{2}Px\quad&\mathrm{if}\ x<\frac{1}{2}l\\\frac{1}{2}P(l-x)&\rm otherwise\end{dcases}
v(0)=v(l)=0
v', v \rm\ is\ continuous
\begin{aligned}\implies v(x)=&v(l)x+v(0)-\frac{1}{EI}\begin{dcases}\frac{1}{12}Px^3\quad&\mathrm{if}\ x<\frac{1}{2}l\\-\frac{1}{12}P(x-l)^3&\rm otherwise\end{dcases}\\=&-\frac{1}{EI}\begin{dcases}\frac{1}{12}Px^3\quad&\mathrm{if}\ x<\frac{1}{2}l\\-\frac{1}{12}P(x-l)^3&\rm otherwise\end{dcases}\end{aligned}
3回も計算間違いするとは……
全部どこが間違っているか探し出せはしたけどさあ
これx=\frac{1}{2}lで対象なたわみ曲線になるはずだから、x\mapsto x-\frac{1}{2}lで座標変換したほうが見通しが良くなるんじゃないか？
式はこうなる
M= -EI\frac{\mathrm{d}^2v}{{\mathrm{d}x}^2}
M:x\mapsto -\frac{1}{2}P|x|+\frac{1}{4}Pl
場合分けがなくなってスッキリした
v(\pm\frac{1}{2}l)=0
v',v \rm\ are\ continuous
\gdef\d{\mathrm{d}}\d\left( \frac{\d v}{\d x}\right)=-\frac{1}{EI}\d\left(-\frac{1}{4}Px|x|+\frac{1}{4}Plx\right)
\gdef\d{\mathrm{d}}\d v=-\frac{1}{EI}\d\left(-\frac{1}{12}Px^2|x|+\frac{1}{8}Plx^2\right)
一つの式にまとめられるから、連続条件がいらなくなるのか？
x\mapsto|x|が連続函数だから、Mを2回積分しても連続函数のまま？
いや、連続函数の積分値が連続函数になる保証はないか
そうであるなら最初の解法でも連続条件は必要ないはず
いやいやいや、連続函数にならなかったらおかしいでしょ
その地点でDiracのdelta函数並の不自然な跳ね上がりがない限り、積分値つまり面積が不連続になることはありえん
いや証明はしていないが
\therefore v:x\mapsto-\frac{1}{EI}\left(-\frac{1}{12}Px^2|x|+\frac{1}{8}Plx^2+C_0x+C_1\right)
真ん中に集中荷重をかけた単純梁#60a4f56c1280f00000546b28より積分定数を求める
\therefore v:x\mapsto-\frac{P}{48EI}\left(-4x^2|x|+6lx^2-l^3\right)
こっちの方が楽だった
#2021-05-19 18:21:54
#2021-05-11 13:20:26
#2021-04-27 15:13:32