弱いABC予想

(a,b)=1, a+b=c, k>1とするとき

c> \mathrm{rad}(a\times b\times c)^kとなるようなa,bの組み合わせの個数はたかだか有限子しかない

強いABC予想

(a,b)=1, a+b=c, k=2とするとき

任意のa,b,cに対してc< \mathrm{rad}(a\times b\times c)^kとなる

概説

cと\mathrm{rad}(a\times b\times c)^kという2式の比較を考えている

a,bは互いに素な自然数

c=a+bである

\mathrm{rad}(n)はnの互いに異なる素因数の積

ex. \mathrm{rad}(18)=2\times 3=6

cと\mathrm{rad}(a\times b\times c)^kと比較したときに

長いので式c>\mathrm{rad}(a\times b\times c)^kのことをl_kと置く

l_1が真になる(a,b)は無限に存在する

これは真

l_{1.00000000000001}が真になる(a,b)は有限個存在

l_{1.1}が真になる(a,b)は有限個存在

l_{1.6}が真になる(a,b)は有限個存在

3個しか見つかってないらしい

l_{2}が真になる(a,b)は一つも存在しない(だろう)

これが強いABC予想

直感的にはそう

と、いった感じで、k=1なら無限にあるのに、任意のk>1になると有限個しかなくなる(だろう)

というのが弱いABC予想

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関連

証明の中でABC予想が使われているので、ABC予想が証明されれば自動的に証明される

参考