8つの順序の関係の具体例を一覧する
こんな集合を例に取る
\{x,y,z\}の冪集合をXとする
包含関係を\leで表す
また、その部分集合をAとする
下図の茶色で囲った箇所
以下の8つ
Aの上界
\forall a\in Aに対して、a\le xを満たすx\in Xのこと
Aの上限
雑: 上界の中で唯一の最も小さいもの
Aの上界のうち最小元であるx\in X
存在すれば唯一
Aの最大元
雑: Aの中で唯一の最も大きいもの
a \in Aでかつ、Aの上界であるもの
存在すれば唯一
Aの極大元
雑: Aの中で、唯一ではないけど大きいもの
y\gt xを満たすy\in Aが存在しないx\in A
Aの下界
\forall a\in Aに対して、a\ge xとなるx\in Xのこと
Aの下限
雑: 下界の中で唯一の最も大きいもの
Aの下界のうち最大元であるx\in X
存在すれば唯一
Aの最小元
雑: Aの中で唯一の最も小さいもの
a\in Aでかつ、Aの下界であるもの
存在すれば唯一
Aの極小元
雑: Aの中で、唯一ではないけど小さいもの
y\lt xを満たすy\in Aが存在しないx\in A
「極大」と「最大」のニュアンスがわかりづらいが、
これは高校数学の解析でも出てきたものと使い方は同じ
>極大（極小）は「自分の近くの範囲で一番大きい（小さい）」という意味でした。
> 最大（最小）とは「全体の中で一番大きい（小さい）」という意味です。 ref
具体例その1
全部描き込んだらこんな感じになる
下図は最初間違って理解していたもの
時間あけたらまた間違いそうなので、あえて残しておく
どこが違うか？
例えば、上界を見てみる
定義は、\forall a\in Aに対して、a\le xを満たすx\in X
例えば、\{x,y\}は、\forall a\in Aに対して、a\le xを満たさないので間違い
なぜか？
例えば、\{x,y\}と\{x,z\}は比較可能でないから
そのため、この元は上界の定義を満たさない
他にも複数間違いがある
具体例その2
部分集合Aを変えてみた
他の具体例
非常にわかりやすい