最小上界(join)とも言う

常に存在するとは限らない

存在するなら唯一に決まる

定義

dがXの上界のうち最小の元であるとき、dをXの上限と呼ぶ

前提

Dは半順序集合

Xは、Dの部分集合

d\in D

X \sqsubseteq dである

つまり、dがXの上界である

つまり、以下2つの条件を満たす元d\in Dのこと

X \sqsubseteq d

^\forall a\in D\; [X\sqsubseteq a \Rightarrow d \sqsubseteq a]

いろいろな表記

Xの上限をどう表記するか

順序を\leで表す時は、以下のように書くことが多い

\sup X

\sup_{\le} X

\lor X

順序を\sqsubseteqで表す時は、同じノリで以下のように書く

\sup_\sqsubseteq

\sqcup X

ref

\lor Xとか\sqcup Xってイメージと逆だな

上に突き抜けるイメージをすればいいのか

上限は極限のイメージ

\mathbb{R}の部分集合P=\{3,3.1,3.14,3.141,\cdots\}を考えた時、

\sqcup P = \piになる

定理

参考