負の二項分布
negative binomial distribution
ベルヌーイ試行列において、r回成功するまでに要する試行回数を表す分布
\mathrm{NB}_(r,p)と表記
確率pで成功する試行をr回成功するまで行う
PMF
\operatorname{Pr}(X_{\mathrm{NB}_(r,p)}=k)=\left(\begin{array}{c}k+r-1 \\k\end{array}\right) p^{r}(1-p)^{k}
p: 成功確率
r: 目標とする成功回数
r=1,2,..
k: 成功がr回達成されるまでの試行回数
\left(\begin{array}{c}k+r-1 \\k\end{array}\right)は二項係数
期待値
E(X)=\frac{pr}{1-p}
分散
V(X)=\frac{pr}{(1-p)^2}
例
pyimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import nbinom
# パラメータ
r = 10 # 目標とする成功回数
p = 0.5 # 成功確率
k = np.arange(r, 101) # 試行回数の範囲（rから始める）
# 負の二項分布のPMFを計算
pmf = nbinom.pmf(k-r, r, p)
# プロット
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(k, pmf, 'bo-', ms=3, alpha=0.5)
plt.title('Negative Binomial Distribution PMF (r=10, p=0.5)')
plt.xlabel('Number of Trials (k)')
plt.ylabel('Probability')
plt.grid(True)
plt.show()
ユースケース
コインを5回表が出るまでコインを投げ続けたときに、裏が出る回数は、負の二項分布に従う
「コインを5回投げたときに表が出る確率」は二項分布に従う
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