指数分布
ポアソン過程において、連続した2つのイベントが発生する時間間隔をモデル化する確率分布
例
災害が起こってから次に起こるまでの期間
地震が起きる間隔
機械が故障してから次に故障するまでの期間
電球の寿命
人とすれ違うタイミングの間隔
母数\lambda\gt0に対して↓
期待値
E(x)=\frac{1}{\lambda}=\theta
分散
V(x)=\frac{1}{\lambda^2}=\theta^2
確率密度関数
ある期間に平均して\lambda回起こる現象が、次に起こるまでの期間Xが指数分布に従うとき
X=xとなる確率密度関数f(x)は以下の通り
f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}
\lambda: 単位時間あたりの平均イベント数
x: 時間間隔
x\ge 0
累積分布関数
F(x)=1-e^{-\lambda x}
積率母関数
M(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{\lambda}}
例
pyimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon
# パラメータ
lambda_ = 1.0 # 平均発生率（λ）
x = np.linspace(0, 10, 100) # 時間間隔の範囲
# 指数分布のPDFを計算
pdf = expon.pdf(x, scale=1/lambda_)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, pdf, 'bo-', ms=3, alpha=0.5)
plt.title(f'Exponential Distribution PDF (lambda={lambda_})')
plt.xlabel('Time Interval (x)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.grid(True)
plt.show()