定義域が直積圏な関手の個別の関手

関手F:\mathscr{A}\times\mathscr{B}\to \mathscr{C}が存在する時、以下の2つの関手が存在する

関手F^A:\mathscr{B}\to\mathscr{C}

関手F_B:\mathscr{A}\to \mathscr{C}

単純化して言えば、Fの行き先を片方を固定したような関手があるよってこと

これらの関手は以下のようにして定義される

関手F^A:\mathscr{B}\to\mathscr{C}

各A\in\mathscr{A}に対して、

対象の対応

\forall B\in\mathscr{B}について、F^A(B)=F(A,B)

射の対応

\mathscr{B}の射gについて、F^A(g)=F(1_A,g)

関手F_B:\mathscr{A}\to \mathscr{C}

各B\in\mathscr{B}に対して、

対象の対応

\forall A\in\mathscr{A}について、F_B(A)=F(A,B)

射の対応

\mathscr{A}の射fについて、F_B(f)=F(f,1_B)

参考

ベシ圏 p.31 演習問題1.2.25

この2つの関手の存在についての証明問題