直積集合
あるいは単に直積とも
集合族(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}に対し
\Lambdaで定義された写像aで
条件
\Lambdaのどの元\lambdaに対してもa(\lambda) = a_\lambda \in A_\lambda
を満たすようなものの集合を考える
このときの写像は
a: \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambdaであると考えればいい
λごとにバラバラの終域みたいに言っているので、和集合としておく
条件を満足するような写像の全体の集合
言い換えると、上の条件を満たす族(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}全体の集合
これを集合族(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}の直積といい
\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambdaで表す
各A_\lambdaををの直積因子という
\prod_{i \in I} X_i = \{ (x_i) _{i \in I} \mid x_i \in X_i ( i \in I)\}
なんかむずい
\Lambdaで定義された写像aの終集合は何？
値域が\{ a_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}になっているが
そういうのを一旦さておけば、まあ納得はできた
wikipdeiaみたらちゃんと書いてあった
\left\{a : \Lambda \rightarrow \mathbf{A} | a(\lambda) \in A_{\lambda}, \forall \lambda \in \Lambda\right\} \subset \operatorname{Map}(\Lambda, \mathbf{A}) \quad\left(\mathbf{A} :=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}\right)
つまりこの写像の終集合として、与えられた集合族の和集合をとっとけばええだけ