環準同型

群における準同型を、環まで拡張したもの

２つの環RとR'の間の写像f : R \mapsto R'が

f(1) = 1' (1\in R, 1' \in R'は乗法の単位元）

を満たすとき、fを環準同型（写像）という

群の場合と同様に、fが全単射の時を環同型といい、

2つの環RとR'との間に環同型写像がある時、RとR'は同型といい

とかく

群においてはf(0) = 0'はひとつめの式から従う

3つめは自動的には導かれないので、議論を円滑にするため通常は仮定される

例

任意の環Rと自然数n \in \bold{N}に対して

n1 := 1+1+....+1 （n個, 01 := 1）

と定め、有理整数環\bold{Z}からの写像\bold{Z} \rightarrow \bold{R}

を考えると、これはZからRへの環準同型

sgnはnの符号