ベクトル空間
vector space
一般的な定義
VがK上のベクトル空間であるとは、以下の演算と性質（公理）が定義されていることを言う
ただし
ベクトルとはVの要素のこと
スカラーとはKの要素のこと
演算
加法
任意のベクトルa,b に対して、ベクトルa+bが一つ決まる
スカラー倍
任意のベクトルaと任意のスカラーkに対して、 ベクトルkaが１つ決まる
性質(a,b,cはベクトル、k,lはスカラー
(a+b)+c = a + (b+c)
a+b = b+ a
ベクトル0が存在して、任意のaに対して a + 0 = 0 + a = a
各ベクトルaに対して、ベクトルa'が存在して、 a+ a' = a' + a = 0
(k + l) a = ka + la
k(a+b) = ka + kb
(kl)a = k(la)
1a = a（1はKの単位ベクトル
また公理は以下の呼称が一般的
公理| 加法の結合律 | u + (v + w) = (u + v) + w |
| 加法の可換律 | u + v = v + u |
| 加法単位元の存在 | 零ベクトル 0 ∈ V が存在して、全ての v ∈ V において v + 0 = v を満たす。 |
| 加法逆元の存在 | 各ベクトル v ∈ V に、その加法逆元 −v ∈ V が存在して、v + (−v) = 0 とできる。 |
| 加法に対するスカラー乗法の分配律 | a(u + v) = au + av |
| 体の加法に対するスカラー乗法の分配律 | (a + b)v = av + bv |
| 体の乗法とスカラー乗法の両立条件 | a(bv) = (ab)v |
| スカラー乗法の単位元の存在 | 1v = v （左辺の 1 は F の乗法単位元） |
a(bv) = (ab)vは異なる演算に関していっているので結合性を言ってはいない
例
数ベクトル空間
体K上のベクトル空間としてK自身
また、K^n