圏論の記法
文字のレベル
特に断りがなければ
対象は小文字の前の方と後ろの方
a,b,c,\dots
\dots,x,y,z
対象が集合などのとき、さらにその要素は\bar a \in aのように表すことにする
射は小文字の真ん中辺
f,g,h,\dots
圏は大文字の前の方と後ろの方
A,B,C,\dots
\dots,X,Y,Z
函手は大文字の真ん中辺
F,G,H,\dots
自然変換はギリシャ文字の小文字
\alpha,\beta,\gamma,\dots
同じページでは同じレベルを使う
集合が大文字の時は集合を離散圏としてみている
ということは写像は函手なので大文字
結合演算子
まとめると
g\circ f = f;g
F(a) = a.F
G\cdot F = F\ast G
\alpha_a = a.\alpha
\beta \circ \alpha = \alpha ; \beta
F \cdot\alpha =F\alpha = \alpha \ast F
F\alpha_a = a.\alpha \ast F
\alpha \cdot F = \alpha_F = F \ast \alpha
(\alpha F)_a = \alpha_{F(a)} = a . F \ast \alpha
\beta \cdot \alpha = \alpha \ast \beta
右と左
右逆射、左逆射なんていう単語がこんがらがる
ここではマエ、ウシロという文字に置き換えることにする
先に作用する方がマエ
図式順の左側がマエ、右側がウシロ
格上げ記法
a^\sharp : 1\to C
f^\sharp \colon a^\sharp \Rightarrow b^\sharp
a^\wedge \coloneqq \mathrm{id}_a\colon a\to a
C ^\wedge \coloneqq \mathrm{Id}_C\colon C\to C
F^\wedge \coloneqq \mathrm{ID}_F\colon F\Rightarrow F
省略？
結合順
適用は右結合、優先低
a.F.G =a.(F.G)
a.F*G= a.(F*G)
=a*F*G
a.α*β = a.(α * β)
慣れるために、できるだけ図式順を用いる
集合関連
その他記法
\exist!: 一意に存在する