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余極限は対角函手の左随伴
あるJについて
任意のT\colon J \to Cの余極限\langle \operatorname{colim} T, \eta_T \rangleが存在するとき
つまり、任意のT \in C^Jから\Deltaへの普遍射が存在するとき
\operatorname{colim} \colon C^J \to Cは函手
2019/8/19
\begin{aligned} \hom_{C^J}(T,\Delta \operatorname{colim} T') &\cong \hom_C(\operatorname{colim} T,\operatorname{colim} T')\\ \eta'\circ \alpha&\leftrightarrow \operatorname{colim} \alpha\end{aligned}
この函手は対角函手の左随伴函手
\operatorname{colim} \dashv \Delta \colon C^J \to C
\begin{aligned} \hom_{C^J}(T,\Delta a) &\cong \hom_C(\operatorname{colim} T,a) \end{aligned}
UMPにより定まる射と対応する

cからRへの左普遍射による随伴系の構成
dual極限は対角函手の右随伴
組み合わせて\operatorname{colim} \dashv \Delta \dashv \lim

refscrap:随伴関手 - 壱大整域