濃度という概念、一対一対応ができれば濃度が同じ

人が物を数える方法と同じ

例えばりんごがいくつか並んでいたとする

りんごの数を数えるには、一つずつ指差しながら「1, 2, 3, ...」とすべてのりんごを指差すまで呟けばいい

指差しじゃなくて目配せでも勿論構わない

最後につぶやいた数がりんごの総数になる

これは、りんごと自然数(の部分集合)を一対一対応させていることに他ならない

濃度の定義は素朴な数え方と全く同じだということ

無限の次元が違う = 一対一対応ができない = 濃度が異なる

無限の次元が一つ上: 無限の集合から選んだ二項の間にさらに無限が入っている感じ

多項式時間/指数時間の考え方と似たものを感じる

例えば整数の集合と自然数の集合は、シンプルに数えたら倍ある

でも、無限だからその差は押し潰されて一対一対応にできる (...-2, -1, 0, 1, 2...に、5,3,1,2,4って感じで整数を対応させる)

一見直観と反してしまうのは、数え終わりがないからでしょうね

もしこれが有限集合同士なら、どちらかが先に数え終わり一対一対応をつくれないので、濃度が違うということになる

e.g. \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}と\{0,2,4,6,8\}とを数え上げると、先に後者の方が数え終わってしまう

前者の要素のうちの4つの要素と対応させられる要素が後者に存在しない

しかし無限集合の場合は数え漏れが永遠に発生しない

それに対して、例えば整数と実数は一対一対応出来ない

整数集合から二つ項選んだら、その間の項の数は有限

有理数集合から二つ項選んだら、その間の項の数は無限

この比較はちょっとずれてるかも

2値間の項の数の有限/無限は関係ない

確かにある2つの相異なる有理数の間には無限個の有理数があるが、一対一対応できないわけではない

数え漏らしを発生させない数え方が存在する

あー、有理数と整数は同じ濃度なんですね

一方で実数の場合は、数え漏らしを発生させない数え方がそもそも存在しない

証明は対角線論法

背理法でうそつきのパラドックス

集合を扱う意義: 無限を扱うため

集合と論理を駆使しないと、無限を扱うのは難しい