確率の哲学の入門書

著者

金子 裕介

一ノ瀬 正樹（監修）

構成の特徴

章 > 講 > 節の順に大きいが、それぞれが一貫して連続して採番してる。つまり、連番で unique になってる。

付録ごとに対応する節がある。（多対一）

紹介記事

以下、読書メモ

第1章

第2講

確率論思考の3要素

行為

これの選択肢

事象

利害

利得の評価

関連領域

↑それぞれの用語に対応付けがある

第2章「意思決定理論」

始祖

期待値の概念の誕生

発展

最大期待効用原理

意思決定理論の構成

期待値計算

選択肢の評価

最大期待効用原理

選択肢の採択

疑義

行為と事象との因果関係は？

賭けの構造

賭けで選択するのは（行為）選択肢であって、そこから連なる事象ではない

かさねて、事象を直に選んで賭けることはできない。

第3章

12

ラプラスの悪魔は存在しない。

無知 = ignorance

13

認識論の話かな

なぜ客観説が成立する？

∵機構 (propensity) があるから by ポパー

cf. 量子力学

ref. 付録6 (pp. 148–151)

14

平均の客観説

cf. 気体分子運動論

ref. 付録7

平均しか分からない。個別の運動は不明。

vs マクスウェル分布までは分かるのでは？

平均と確率の違い

平均は過去と既知

確率は未来と未知

第4章

主観説

カルナップによる整理

確率₁: 主観確率

こっちを扱う

確率₂: 客観確率

科学において有用性が実証されてる

根本事象の見い出し方の時点で客観的じゃない

ラムジーの主観説

数学的なモデルがあろうとも確率は主観的

行為・事象・確率の3つ組のうち、行為と事象から確率を見定める。

これも方程式かな

練習問題 4.1, 4.2 #TODO

第5章

意思決定理論の想定外

e.g. モラル・ハザード

行為によって確率が変わり得るシチュエーション

正統派設定に反する

ギャンブルを念頭に置いてたため

特に囚人のジレンマが反例になってる

非因果による

法的因果の話

第6章

事象のアスペクト変化の問題を解消できる

最初から条件付き確率を使えと思ってしまう

微妙な解釈の問題があるらしいが、無視する

第7章

意思決定理論（ギャンブル理論）の限界

因果関係を捉えられない

人は全部が全部を確率的に思考してるワケでは ない ため。

ここで帰納論理

因果の類型

原因→結果

手段→目的

これは目的手段思考とは言わない

teleological thinking

cf. 目的手段推論

目的に想定されない帰結が色々あり得るので

§119 まとめ、リスト35

確率論思考への 4 step

問題の場面

状況設定に相当

目的と手段

因果論思考

事象の列挙

確率論思考

第8章

「帰納論理」

ここからが実質的な第二部

by デイビッドソン

参考までに

因果: F(c)

c cause F

ref. fig. 7.2 (§118, p. 62)

多項関係を一項術語で表現できてる。

singular sentence = 単称文

singular prediction = 個別予測

個別予測の形式を条件付き確率の形式に書き換える。

枚挙された経験を連言∧する。

単純な枚挙による帰納法

cf. 枚挙による帰納

cf. 付録15 帰納的一般化

en: inductive generalization

40

論理の つながり だけで、因果は ない。

確率論思考が 因果論思考に

カルナップによる定式化

行為のタイプ化

e.g. F_1(c_1) \land F_2(c_2)…

ref. formula 39.1

第9章

第41講「抽象」

母集団, population

Fの定義域

類似性で類例を集める

= 原因抽出作業

cf. ヒュームの抽象、カルナップの構成

ここから推論する

↑個別予測

推論対象は最後の末端事象だけ

未来事象

cf. 世界分岐の起点

過去経験: 複数

過去→未来

cf. tense

(singular) predictive inference

第10章「コルモゴロフの公理系」

ここから本格入門

第43講

帰納論理は構文論として述語論理を採用する。対象言語ということ。

確率を考慮する。

帰納論理は意味論として命題論理を採用する。

これはキメラである。

cf. （前期）Wittgensteinの意味論の影響

原子論理式にのみ確率を割り当てる。

e.g. F(c)

帰納論理はメタ言語として確率論理（学）を採用する。

コルモゴロフが確率論理学（en: probabilistic logic）を作った。確率論を集合論をベースに公理化した。

測度論は さしあたり 不要。

ここではメタ言語での定式化を採用する。

その式は確率論理式？

確率論理学はメタ言語で議論するから意味論だと言う。

1 とか減算とかの数学的対象を扱ってるので、意味論で良いだろう。

実際 \modelsとかを使ってる。

メタ言語なので、メタ変項を使って論証する。

これ自体は あくまでも 演繹論理。

選言標準形を冗長にしたヤツ

条件付き確率の議論

普通に分数で定義する。

既存の定理を移行していく。

一般化された形式を紹介している。

派生として、網羅的で排反な事象の族についてのモノがある。

つまり全事象 1 の分割ないし直和になっている。

ref. 集合の分割 - Wikipedia

自然科学の対立仮説のモデルになってるという。

予測確率 P(H \mid E∧B)

H: hypothesis

E: evidence

B: background knowledge

事例

ヒンティカの帰納論理

帰納的一般化があるので（全称量化）ベイズの定理が使える。

逆に個別予測にはベイズの定理が不適

帰納論理の言語

記号は2種類で有限個

57

70

「Q述語」と言いつつ、Q論理式が適切。

式は述語を含むbasic diagramの連言

a state of affairs

これを生成する組み合わせを考える

cf. 組合せ論

以降、Q式ないしQ文と呼ぶ。

state-description（状態記述）

構成された主観的な世界の記述

可能世界に対応する。

cf. 様相論理で扱うのが一般的。

prop. それぞれ排反

第15章「個別予測」

実際に計算する

ramifying world = 分岐世界

個別予測の式

再掲。定式化は式39.2を参照。

これまでの経験がペアの連言の連言で表わされてる。

末尾に原因を連言で追加する。

帰結の条件付き確率を計算する。

増分の1は分岐世界に対応する。

式変形

確率論理を使って式変形する。

ペアの連言はQ式に対応する。

⇒ 分数形

分子は可能世界の状態記述の確率

= P(St)

分母は条件（エビデンス）の確率

クワインの方法で式変形

帰結の部分式に⊤を置く。すると排中律のトートロジーに置換できる。

↔ 状態記述のペアの∨

式 \frac{P(St)}{P(St)+P(St')}

分岐世界との対応

最後の分岐がそのまま分母の∨に現れてる。

排反なので（homomorphismで出して）和でかける。

これはオッズを使って書ける。

odds o=\frac{P(St)}{P(St')}

最後の節より、無視できる。 (sec. 239, p. 135)

最下部を参照。

第16章「統計的世界観」

可能世界（状態記述）の確率

これを計算したい。

統計的視点

無差別の原理 (付録1.3; 6)

事例（Q式の個体定項）を区別する必要は ない。

cf. §135

instantiation の情報のみが大事。

only it matters.

cf. 相対頻度 (付録2.1; 1)

エビデンスの同型 (isomorphism)

aka. same up to isomorphism

カルナップのパロディーだと言う説がある。

可能世界の同型

同値類かな？

参照クラスの問題が発生しそう

エビデンスは ある状態記述の部分式に なってる。

構造記述

状態記述というtupleをmultisetに圧縮する。

2↑k个のQ式とn个の個体定項との組み合わせを考えてる。あるいは、nで順序付けられたn-重対だと思うので、 n→2↑k。つまり、(2^k)^n=2^{kn}通りを考える。

つまり同値類だ。

結局、 多重集合なので数え上げは重複組合せになる。L(k, n) ⇒ H(2^k,n) = \binom{2^k+n-1}{n}

あとのshortcut式にも繋がるが、ここは約分できそうだ。

ここでラプラスの無差別原理を適用する。

確率を同数づつ配分する。使うのは多重集合係数。

更に同型の間で配分する。使うのは多項係数になる。

実際の計算例

shortcut（ja: 簡便計算法）

⇖実際の利用には煩雑なため。

（主観的）世界観が まるごと省略された。

対応

過去経験 → 標本

正当化

ref. 付録17 (pp. 174–178)、付録18

ref. Yusuke Kaneko, Carnap’s Thought on Inductive Logic - PhilPapers

式56 (p. 787) の系: 式70 (p. 790)

確率: p=\frac{s_Q+1}{s_\text{all}+2^k}

s_\text{all} = 事例の総数

独立事象の場合: p=\frac{1}{2^k}

「経験から学ばない」ケースに相当する。

あるいは、経験データがなく、Qが1度しかない場合。

計算例

信念の更新。確率の変動。

無関係な行動のタイプの事例は、主観確率に影響しない。たとえ否定形でも。

付図8

ref. (§122, 付録13.4; 20, p.169)

3種の言語の翻訳

日常言語 → 出来事論理 → 帰納論理

指標詞 → （出来事文→証拠定項） → 個体定項

引用:

(第40講, §136 注, p. 71)

(第55講, §191, p. 107)

relic

ja: 遺物

帰納論理は基本的には死んだ体系である。 (付録15, §130; 7, p. 173)

疑問

同型によって個体定項を無視して良い理由

付録1.3

5: equally possible

6: 無差別の原理（ラプラスの確率論）

付録16

両立不能や排反は、（大ステップ）意味論で処理したい。

矛盾する部分項があった時点で短絡できるため。

付録18 (§236, pp. 178–181)

独立事象 w/2^k と 相対頻度 s_Q/s

論理要因と経験要因

直挿法は（経験された）相対頻度を 予測に じかに つかう。

式: p=\frac{s_Q+w}{s+2^k}

まるで分数の間違った足し算だ。（分数の偽加法）

別の立場もある: rule of succession

λ-体系に一般化された。

比較的簡単になったが、関連が見えなくなった。

帰納論理の個別予測の確率計算の別表記を考察する。

odds表記を検討する。

odds o = \frac{P(St)}{P(St')} = {P(Q|E)}:{P(Q'|E)} = \frac{s_Q+w}{s+2^k}:\frac{s_{Q'}+w}{s+2^k} = \frac{w+s_Q}{w+s_{Q'}}

最終的に分母は相殺するので無視して良い。

つまり、初期のオッズは w:w = 1:1 = 1 から始める。

俺俺shortcut

まずは五分五分（一対一, 1:1）から始めて、正負の1事例ごとに odds の 勝:負 をそれぞれカウントアップ (+1) すれば良い。

論理要因×1 → 経験要因×n

繰り返しオッズを更新する。

確率が欲しければ、オッズから計算すれば良い。