雑に読む『線形代数 (モストウ、サンプソン)』
『線形代数 (モストウ、サンプソン)』を雑によむ
雑に読む「Numerical Recipes in C 日本語版」終わってないけど、並行してやってもええやろ
動機
線型代数ちゃんとやりたい
目標
1日定理x1 & 問題 x2
どんなに忙しくても必ず毎日やるタスクのテスト
めちゃくちゃ忙しくても、例えば1問解くくらいなら数分でできるはず
だめだったらもっと細かくする
だめだ意外と時間がかかる
数式に限れば、typingより手書きしたほうが早い
いちいちkatex書くのはさすがにつらい
とりあえず、最初の3日くらいは定理x1 & 問題 x2ですすめてみて、それらにかかった時間から今後のペースを決めよう
log
| n | min | |
| 2023-03-22 | 3 | 16 |
| 2023-03-29 | 1 | N/A |
Helpfeel Tech Hour vol.2 「GPT-3編」を見ながらやってたので計測不能
どんなに忙しくても必ず毎日やれなかった……
1/100プランニング的にめちゃくちゃ小さくすれば継続できると思ったが……
やっていて、こんなことをやって意味があるのか？という気持ちになっている
連立方程式とかとっくに知っていることだし
もちろん実際に解いてみてだいぶ引っかかているので、理解が足りなかったということがわかった点と、より理解を正確にできるという点で、やることにメリットは有る
しかし、だいたい理解しているところより、あまり理解していないところを先に進めるべきではないだろうか
明確な期日つきの目標があれば、方針を決めやすいのだろうが、今回はそれがないので決めにくい
「毎日少しでもやる」が最優先目標
あ、関数空間と今やっているところを、一日づつ交互に解いていけばいいのか
解決
完了条件
全章の定理と問題をとく
目次
各節末に練習問題がある
1 ベクトル空間と内積
1 はじめに
練習問題 x5
1. 次の1次方程式において、解は1点を、1直線を、あるいはまた1平面を形成するか、それとも解は全く存在しないか
a
1. x+y-z=0
2. x+y+2z=1
3. 2x+2y+z=1
解
3(x+y)=1
1+6z=3\iff 6z=2\iff z=\frac13
xとyは不定なので、解は直線を成す
2面が交わっているイメージ
(1.)+(2.)=(3.)だったから、そっちから攻めたほうがすぐ求まったか
b
1. x=y+z+1
2. y=x-z-1
3. z=x-y-1
解
(1.)+(2.)=x=y
(3.)+(1.)=0
\therefore(3.)=(1.)
3.の-y-1を移項すると1.になる
あ、(1.)=(2.)じゃん
てことは解は1平面を成す
c
1. x=y+z+1
2. y=x-z-1
3. x-y-z=0
解
1.=2
2.+3.=x-z=x-z-1\iff0=-1\iff\bot
2.と3.が矛盾するので、解は存在しない
16:56:21 そろそろ締め出される！
17:02:19 終了
2. x,y,zに関する3つの1次方程式の1組で、ただ1つの解として(1,0,0)をもつものを書け
つまり
\pmb{A}\cdot(1,0,0)^\top=\pmb{b}\land\det\pmb{A}\neq0を満たす\pmb{A},\pmb{b}を求めれば良い
ようは\pmb{A}が正則で、\pmb{A}の1列目が\pmb{b}と等しければいいわけだ
例
\pmb{A}=\pmb{I}(単位行列)、\pmb{b}=(1,0,0)
17:06:02 おわり
3. (1,0,0)と(0,1,0)とを解にもつx,y,zの3元連立方程式を一つ書け
この2つの位置vectorを含む面 or 直線が解となる3元連立方程式を作ればいい
直線の場合
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ .for }\exist s\in\R
y=1を通り、x軸に平行な直線
うーん、いい感じのが思いつかない
\iff y=1\land z=0
いやそれはそうなんだけど……
\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}形でうまいこと言い表せませんか？
面の場合
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ .for }\exist s,t\in\R
\iff z=0
これもつまらない結果になっちゃった
というか、これらは3元連立方程式ではないから解にはならない
掃き出し法の逆を使って\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}をなんとか導くしかないのか
y=1\land z=0
\iff \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}
\iff \begin{pmatrix}0&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}
ええ……これ以上展開できなくない？
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ .for }\exist s\in\Rと置いたのがよくなかったか
これを通る面は
x軸につねに平行な面しか選べない
図が下手くそォ！！
x軸に平行な面は、どの(y,z)の組み合わせでもxを任意の値で取れる
なのでxの係数は、どうあがいても0にしかならない
ここから、x軸に平行でない直線を使えば、xの係数が0でなくなる事がわかる
x+y=1\land z=0でいいや
x+y=1\land z=0
\iff \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
\iff \begin{pmatrix}1&1&0\\3&3&1\\-1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}
できたー！
3つの1次方程式で表される3面が、[" y=1を通り、x軸に平行な直線]でちょうど交わるように構成できればいい
2 3次元のベクトル空間
練習問題 x4
3 複素数の場
複素数が満たす性質
言われてみればこれ書き出したこと一度もなかった
ここでやっておこう
1. \Complexは可換体を成す
テキストには丁寧に羅列されているが、書き出すのがめんどいので一言で済ませた
2. \R\subseteq\Complex\land i\in\Complex
such thati^2=-1
3. \forall z\in\Complex\exist x,y\in\R;z=x+yi
定理 x4
1. \forall z\in\Complex\exist!x,y\in\R;z=x+yi
複素数の性質3.の一意性を示す定理
2023-03-22 17:07:35 とく
といっても、辺々を引くだけで終わりでしょ
\forall z\in\Complex\forall x,y,s,t\in\R;
z=x+yi\land z=s+ti
\implies 0=(x-s)+(y-t)i
\iff 0=x-s=y-t
\because \forall z,w\in\Complex;z=w\iff\Re z=\Re w\land\Im z=\Im w
\iff x=s\land y=t
これで一意性を示せた
17:15:47 おわり
練習問題 x4
4 実, 複素ベクトル空間
定理 x1
練習問題なし
5 ベクトル空間\Bbb{C}^n,\R^n
定理 x1
練習問題 x1
6 \Bbb{C},\Rにおける長さと角
定理 x3
練習問題 x6
7 ベクトル空間の部分空間
定理 x3
練習問題 x7
8 関数のベクトル空間
定理 x4
練習問題 x10
9 内積空間
定理 x6
練習問題 x9
2 線形写像と1次従属
1 はじめに
2 写像
3 ベクトル空間の線形写像
4 線形写像の代数学
5 1次従属と次元
6 正規直交基底; ユニタリ・エルミート写像
3 行列
1 はじめに
2 行列
3 線形写像のための座標行列
表現行列のこと
4 基底の変更
5 行列の階数と連立1次方程式
7 逆行列の計算
4 行列式, 固有値, 固有ベクトル
1 はじめに
2 多項式
3 行列式の公理
4 行列式の計算,応用
6 固有値に対する補足
7 ケーリー・ハミルトンの定理; 行列の関数
8 体積としての行列式
9 有向ベクトル空間
10 3次元空間におけるクロス積; フルネの公式
11 行列式の微分法
5 エルミート形式とスペクトル分解
1 はじめに
2 双線形, 反双線形関数の座標行例
3 基底の変更, 対角行列へのバビロニア還元法
ググっても検索結果が0件な言葉
4 エルミート写像
5 スペクトル分解定理続論
6 ユニタリ写像
6 行列の3角化とジョルダンの標準形
1 はじめに
2 3角行列
3 3角形式への変形
4 エルミート, ユニタリの場合への応用
5 線形写像と行列との関数
6 特性部分空間
7 線形作用素の分解について
8 ベキ零写像とジョルダンの標準形