最も基本的な箇所に関する記述が抜けていることに注意

もう知っていてつまらないのであとに回している

関係意味論

関連: クリプキ意味論

関係モデルはタプル\mathfrak{M}=(W,R,V)として定められる。ここで、

Wは可能世界集合とする (宇宙とも呼ばれる)

RはW上の二項関係とする

Vは各原子論理式と世界のペアに真偽値を割り当てる評価関数とする

V:W\times F\rightarrow\{0,1\}ただし、Fは原子論理式

ここに宇宙が出てきたか！

フレームと完全性

アクセシビリティ関係\color{#36c} ^{[とは？]}Rの選択だけで、式の真偽を保証するのに十分なことがある

Gを可能世界集合とし、RをG上の二項関係とする

関係フレームは対\mathfrak{M}=(G,R)として定められる

フレームの一覧

反射的: ^{\forall w \in G}[wRw]

対称的: ^{\forall w,u\in G}[wRu\Rightarrow uRw]

推移的: ^{\forall w,u,q}[wRu\land uRq\Rightarrow wRq]

連続的: ^{\forall w,\exist u\in G}[wRu]

ユークリッド的: ^{\forall u,t,w}[wRu\land wRt\Rightarrow uRt]

連続性からtRt\land uRuと同様にtRuを含意する

どゆこと？

各種公理とフレームの関係

公理K: 無条件

公理D: 連続的

公理T: 反射的

公理B: 反射的かつ対称的

公理S4: 反射的かつ推移的

公理S5: 反射的かつユークリッド的

ユークリッド性と反射性から対称性と推移性を導ける

ほおん

反射的・対象的・推移的なのでS5ではRが同値関係になる

これはそう

よくあるモデルの関係性を表す図