任意の圏からすべての射の類が1個以下しか射を持たない圏を作る
from 前順序集合に関する試行錯誤
のりしろ
C: 任意の圏
B:すべての射の類が1個以下しか射を持たない圏
のとき、CからBを構成できるかどうか気になった
Cの圏を\bf C、Bの圏を\bf Bとする
以下のように\bf Bを構成すれば、\bf Bのの射の類は1個以下しか射を持たなくなるはずだった
{\rm ob}({\bf B})={\rm ob}({\bf C})
{\bf B}(A,B)=\begin{dcases}\{{\bf C}(A,B)\}&\text{if }{\bf C}(A,B)\neq\varnothing\\\varnothing&\text{otherwise}\end{dcases}
圏\bf Bの射f:A\to B,g:B\to Cにてf\circ g=
合成を定義するのがむずい。放棄
これでどう？
Cの圏\bf Cが与えられたとする
Bの圏を定義する
対象
{\rm ob}({\bf B})={\rm ob}({\bf C})
射
{\bf B}(A,B)
ただし\#{\bf B}(A,B) = [{\bf C}(A,B)\neq\varnothing]
Iverson便利だからすき
中身の定義はどうしよう
{\bf C}(A,B)からなにか一つだけ射を取ってこれればいいんだけど……
取ってくる……選択……はっまさか選択公理！(多分違う)
> \mathscr A(B,C)\times\mathscr A(A,B)\ni (f,g)\xmapsto{\circ}f\circ g\in\mathscr A(A,C)
1:
f \in {\bf B}(X,Y),g \in {\bf B}(Y,Z) が存在するとき
f' \in {\bf C}(X,Y), g' \in {\bf C}(Y,Z)が存在する(Bの射の定義より)
2: この時Cの射の合成により射
f'\circ g'\in {\bf C}(X,Z)
が存在する。
よって{\bf C}(X,Z)\neq\varnothing
3: Bの射の定義より {\bf B}(X,Z)の要素がただ一つ存在する
これをf \circ gとする
よさげ！
>中身の定義はどうしよう
中身を定義しなくても射の合成を定義できる
はい。なので射の合成はこれで問題なさそうです
圏は対象の集まり、射の類、射の合成の3つで構成されるので、射の類を定義できないとだめかなあと
\#{\bf B}(A,B) = [{\bf C}(A,B)\neq\varnothing]で十分なのか？うーん
条件を十分満たすでしょ
その手があった！よかった、これで解決ですね
全順序集合から(B)を構成するときにもタプル使ってたのに、ここでは思いつかなかったの笑う