> ペアノの公理（ペアノのこうり、英: Peano axioms） とは、自然数の全体を特徴づける公理である。ペアノの公準（英: Peano postulates）あるいはデデキント＝ペアノの公理（英: Dedekind-Peano axioms）とも呼ばれる 1 2 。1891年にイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノにより定式化された。

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> ペアノの公理を起点にして、初等算術と整数・有理数・実数・複素数の構成などを実際に展開してみせた古典的な書物に、1930年に出版されたランダウによる『解析学の基礎』（Grundlagen Der Analysis）がある。

> 集合 ℕ と定数 0 と関数 S に関する次の公理をペアノの公理という 3 注 1 。

> 自然数を 0 からではなく 1 から始める流儀もある 4 。

> 1. 0 ∈ ℕ

> 2. 任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ

> 3. 任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0

> 4. 任意の n, m ∈ ℕ について S(n) ≠ S(m)

> 5. 任意の E ⊆ ℕ について 0 ∈ E かつ任意の n ∈ ℕ について n ∈ E → S(n) ∈ E ならば E = ℕ

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> このとき ℕ の元を自然数といい、自然数 n に対して自然数 S(n) をその後者 (successor) 注 2 という。

> 第五公理は、数学的帰納法の原理である 注 3 。

> これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない 5 。

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> ペアノの定理から 2 + 2 = 4 や 2 ⋅ 2 = 4 のような「定理」を証明するには 2 = S(S(0)) などの項を導入したり、加法 + や乗法 ⋅ の存在や性質を示したりする必要がある。たとえば Henle (1986, pp. 17, 18, 103, 104) を見よ。

> 範疇性

> 集合 ℕ^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (ℕ^, 0^, S^) をペアノ構造（Peano structure）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる 注 4 、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかる。

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> 一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム＝スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。