Archimedesの原理
B=\rho gV
B: 浮力
\rho: 静水の密度
g: 重力加速度
V: 静水中の物体の体積
静水から飛び出た部分は計算に入らないので注意
この場合の計算も是非してみたいよなあ
ここが変化する場合は水面で単振動する物体モデルになるだろうな
導出
方針
静水圧の式を、物体の表面で面積分するだけ
全静水圧を全ての面で計算したものと同一
側面の全静水圧は打ち消し合うため、結果的には全静水圧の鉛直成分に等しくなる
円柱の場合
静水圧の式p(z) = \rho gz+Cから求める
B=-(p(z)A-p(z+l)A)=\rho glA=\rho gV
高さl、上下面ともに断面積がA
cf. 浮力の復習
全静水圧の式から求める
円柱の領域をDとすると、
\pmb{B} = \rho g\oiint_{\partial D} z\mathrm{d}\pmb{S}
= -\rho gzA\pmb{e}_z+\rho g(z+l)A\pmb{e}_z
x, y成分は打ち消し合って0になるので、結局上下の円盤部分の全静水圧だけを計算すればいい
=\rho glA\pmb{e}_z
=\underline{\rho gV\pmb{e}_z\quad}_{\blacksquare}
上2つはやっていること全く同じ
単に前者が円柱の幾何学的性質を用いて積分計算を省いているだけ
任意の形状の物体の場合
2022-06-28 04:48:47 スカラー発散定理を使えば一発で求まる
密度が変化する場合にも対応できる
z軸方向にスライスして、静水と接触している部分の微小面素にかかる圧力の合計を計算すれば同じことができると思う
\pmb{B} = \rho g\oiint_{\partial D} z\mathrm{d}\pmb{S}
x, y成分は打ち消し合うので、z成分だけが残る
=\rho g\int z\mathrm{d}S(z)
z\mapsto \mathrm{d}S(z): 深さzにおける、xy平面に射影した微小面積
これは筋悪いな
zで考えないほうがいいと思う
閉領域なので、\oiint_{\pmb{s}\in\partial D}\mathrm{d}\pmb{s}=\pmb{0}が成り立つ
#2022-06-28 04:49:40
#2022-05-10 09:38:34
#2022-04-29 21:58:32
#2022-04-19 10:18:20
#2022-04-18 13:13:18
#2021-05-10 17:09:22
#2021-04-19 23:28:26