積の積分
部分積分とか言われているやつ
積の微分の対として考えた方がいい
予備校時代に習った
以下、
がアレンジを加えたversion
方針
積の微分を逆に適用する
\mathrm{d}(fg) = f\mathrm{d}g + g\mathrm{d}f
\iff f\mathrm{d}g = \mathrm{d}(fg) - g\mathrm{d}f
基本
\mathrm{d}G := g\mathrm{d}xとする
\int fg\mathrm{d}x = \int f\mathrm{d}G = \int \mathrm{d}(fG) - \int G\mathrm{d}f
fに微分しやすい函数を持って来るのがポイント
最終的にfとGを入れ替えたことになる
函数をひっくり返すようなイメージを持つと計算しやすい
例
\int xe^x\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}(e^x) = \int \mathrm{d}(xe^x) - \int e^x\mathrm{d}x
x\mathrm{d}(e^x)のxとe^xとを交換して、積分しやすいe^x\mathrm{d}xの形に持ち込むことができた
あとは普通に積分してやればよい。
= xe^x - e^x + C \quad\mathrm{.for}\ \exist C \in \mathbb{R}
\int x\cos x\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}(\sin x)
= \int \mathrm{d}(x\sin x) - \int \sin x\mathrm{d}x
= x\sin x + \cos x + C \quad \mathrm{.for}\ \exist C\in\mathbb{R}
\int \ln x\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}(x\ln x) - \int x\mathrm{d}(\ln x)
すでに\int f\mathrm{d}G の状態であると見なして計算している
\ln xの積分はわからないけど微分はわかるからxと交換して微分させた
対数函数の積分はこれが一番わかりやすい(自画自賛)
= x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x
= x\ln x - x + C \quad \mathrm{.for}\ \exist C\in\mathbb{R}
#2021-05-20 12:59:16
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