真ん中をひねった単純梁
from 単純梁のモデル
真ん中をひねった単純梁
支点反力は以下のように求めた
\begin{dcases}0=V_1+V_2\\0=M-lV_2\end{dcases}
\iff V_1=-V_2=-\frac{M}{l}
たわみを求める
準備
m:=\frac{1}{2}l
\hat{x}:=\begin{dcases}\frac{x}{|x|}\quad&\mathrm{if}\ x\neq0\\0\quad&\mathrm{if}\ x=0\end{dcases}
梁の中心をx軸原点にとる
曲げmoment
\begin{aligned}M &=\begin{dcases}-\frac{M}{2m}(x+m)\quad&\mathrm{if}\ x < 0\\-\frac{M}{2m}(x-m)\quad&\mathrm{if}\ 0\le x\end{dcases}\\&=-\frac{M}{2m}(x-\hat{x}m)\end{aligned}
曲率v''
v'' = \frac{M}{2mEI}(x-\hat{x}m)
たわみ角
v' = \frac{M}{4mEI}(x^2-2|x|m) + C_0
たわみ角が連続函数であることを用いた
たわみ
v = \frac{M}{12mEI}(x^3-3x|x|m) + C_0x+C_1
境界条件から定数を求める
v(\pm m)=0
\begin{aligned}\iff 0=&\frac{M}{12mEI}(\pm m^3 \mp3m^3)\pm C_0m+C_1\\=&\frac{M}{12mEI}(\mp 2m^3)\pm C_0m+C_1\end{aligned}
\iff \begin{dcases}\frac{Mm^2}{6EI}=C_0m\\0=C_1\end{dcases}
\iff \begin{dcases}C_0=\frac{2Mm}{12EI}\\C_1=0\end{dcases}
よって、たわみvとたわみ角v'は
\begin{dcases}v = \frac{M}{12mEI}x(x^2-3|x|m+2m^2)\\v'=\frac{M}{12mEI}(3x^2-6|x|m+2m^2)\end{dcases}_{\large\blacksquare}
検算も兼ねて各点の値を求める
v'(\pm m)=\frac{M}{12mEI}(3m^2-6m^2+2m^2)=-\frac{Mm}{12EI}
v'(0)=\frac{Mm}{6EI}
両端よりひねっている箇所の方がたわみ角が大きい
v'\left(\pm m\left(1-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\right)=0
\frac{\sqrt{3}}{3}\simeq\frac{1.73}{3}>0.5より、たわみが最大となる地点はひねった箇所に寄っている事がわかる
たわみの値を求めるのは流石に面倒だな……
支点を追加すると、不静定梁になる
#2021-05-31 13:16:23
#2021-05-25 19:43:10
#2021-05-11 13:22:21
#2021-04-27 15:13:32