変形勾配tensorの逆tensor
{\bm F}^{-1}=\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
と表される
直感的にわかるように、逆tensorは
運動函数\bm\phiの逆函数の勾配に相当する
厳密には空間表示から物質表示に変更する必要がある
導出
\bm I=\bm X\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}
={\bm\phi}^{-1}(\bm\phi(\bm X,t),t)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}
=\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm\phi\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}
=\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F
\implies{\bm F}^{-1}=\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
わかりやすくするために、
物質点による微分を
\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}、
空間位置\bm xによる微分を
\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}とした