¬¬P∧¬¬Q⇒¬¬(P∧Q)
from 二重否定の分配則
\lnot\lnot P\land\lnot\lnot Q\implies\lnot\lnot(P\land Q)が二重否定除去のある論理体系で成立するのは自明
二重否定除去がなくても成立することを以下に示す
\lnot\lnot P\land\lnot\lnot Q\implies\lnot(\lnot P\lor\lnot Q)
\because¬P∧¬Q⇒¬(P∨Q)
\implies \lnot\lnot\lnot(\lnot P\lor\lnot Q)
\because二重否定導入
\implies\lnot\lnot(P\land Q)
\because\lnot\lnot\lnot(\lnot P\lor\lnot Q)\implies\lnot\lnot(P\land Q)
\underline{\therefore\lnot\lnot P\land\lnot\lnot Q\implies\lnot\lnot(P\land Q)\quad}_\blacksquare
他の定理を用いず、自然演繹だけで示す場合
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\usepackage{amsmath}
\begin{document}
$\Large\begin{nd}
\hypo {h1} {\lnot\lnot P\land\lnot\lnot Q}
\open
\hypo {h2} {\lnot(P\land Q)}
\open
\hypo {h3} {P}
\open
\hypo {h4} {Q}
\have {pq} {P\land Q} \ai{h3,h4}
\have {h4-1} {\bot} \ne{h2,pq}
\close
\have {h3-1} {\lnot Q} \ii{h4-{h4-1}}
\have {h3-2} {\lnot\lnot Q} \ae{h1}
\have {h3-3} {\bot} \ne{{h3-1},{h3-2}}
\close
\have {h2-1} {\lnot P} \ii{h3-{h3-3}}
\have {h2-2} {\lnot\lnot P} \ae{h1}
\have {h2-3} {\bot} \ne{{h2-1},{h2-2}}
\close
\have {h1-1} {\lnot\lnot(P\land Q)} \ii{h2-{h2-3}}
\end{nd}$
\end{document}#2024-03-14 15:49:54
#2024-01-28 14:19:01