直観主義論理の選言特性の補題

\models A \lor B\implies\models Aまたは\models B

少なくとも最低どちらかは恒真である

対偶を示す

\not\models Aかつ\not\models B\implies\not\models{A} \lor B

論理と計算のしくみ(本)を参照．巧妙にA,Bの反例モデルを合成すればA \lor Bの反例モデルが作れる

テーゼ1.

直観主義論理は3値論理ではない．

仮定：直観主義論理は3値論理であるとする

仮定に基づいて，真理値をt_1,t_2,t_3とし，命題に対してそれらを割り当てられるとする．

命題変項p_1 \cdots p_4とし，A \leftrightarrow B := (A \to B) \land (B \to A)

論理式A := (p_1 \leftrightarrow p_2) \lor (p_1 \leftrightarrow p_3) \lor (p_1 \leftrightarrow p_4) \lor (p_2 \leftrightarrow p_3) \lor (p_2 \leftrightarrow p_4) \lor (p_3 \leftrightarrow p_4)とする

鳩の巣原理よりどれかの変項のペアの真理値は同じなのでp_i,p_jとする

p_i \leftrightarrow p_jは真で，よって当然Aも真である．

以上よりAは恒真である．\models A

他方

\models Aとすると選言特性補題よりどれかのp_k \leftrightarrow p_mは恒真である（ただし，k \neq m）

しかし，どのk,mについても，p_k \leftrightarrow p_mの反例モデルは容易に構成できる，つまり\not\models p_k \leftrightarrow p_m

これは補題に反する（6個のうち最低1個は恒真でなければならない）

以上より，矛盾が生じるので仮定が誤っていて，直観主義論理は3値論理ではない．

この議論は，任意有限個の真理値を持つ有限多値論理へと拡張できる．