圏論入門 Haskellで計算する具体例(本)
1章
集合A,Bとの間に関係RがあるR \sub A \times B
特に関係Rが\forall a \in A . (\exists! b \in B \land a R b)なら写像（関数）と呼ぶ
つまり入力に対して必ず出力が存在して，しかもそれはただ一つである（二個とかはダメ）
弱いバージョン，\forall a \in A . (a R b \land a R b' \implies b = b')
入力に対して出力があるかはわからない
出力があるなら，それは一つである
f: A \mapsto B, g: B \mapsto C, h: C \mapsto D
(h \circ g)\circ f = h \circ (g \circ f)
部分関数についても合瀬の結合律が成り立つ
例えば各々の集合にundefinedとして\botを入れてやれば証明が楽になる
関係の合成
関係F \sub A \times B, G \sub B \times Cで，
G \circ F = \{ (x,z) \mid \exists y \in B. ((x,y) \in F \land (y,z) \in G) \}
つまり関係FとGを架橋するような要素yがあるならそれで連結したものをピックする
実数の加法群\R_{+}および正の実数の乗法群\R^{>0}_\times
対数関数
\log: \R^{>0}_\times \mapsto \R_{+}，この写像は群の
準同型写像と呼ばれる
\log(x y) = \log(x) + \log(y)
またこれには逆の写像が存在するので，
同型写像と呼ばれる
指数関数\exp: \R_{+} \mapsto \R^{>0}_\times
e^{x + y} = e^x e^y