『群論への第一歩』「第1章 集合」ノート
集合について
集合は何かを集めたもの
例
\{1,2,3\}
プログラミングの配列と近しいイメージを持った
別情報からの補足
上記のような書き方は外延的表記と呼ばれる。
以下のような書き方は内包的表記と呼ばれる。
\{2n \mid n \in \mathbb{Z} \}
集合の中に含まれているものは
元 ないしは 要素 と呼ぶ属している
2 \in A
「要素2は、集合Aに属している」
5 \notin A
「要素5は集合Aに属していない」
よく使われる集合
自然数全体の集合\mathbb{N}
整数全体の集合 \mathbb{Z}
有理数全体の集合 \mathbb{Q}
実数全体の集合 \mathbb{R}
複素数全体の集合 \mathbb{C}
空集合
何も要素を持たない集合
\varnothing
集合の相等関係
定義
>集合Aの任意の元が集合Bに属しており、集合Bの任意の元が集合Aに属しているとき、二つの集合AとBは等しいといい、
> A = B
>と表記します。
A = {1,1,1,2,2,3} , B={1,2,3}でも上記の定義を満たすので、A = Bと言える
集合の元の個数
集合が持っている元の個数
要素数とも呼ぶ
|A|
$ arr.length()集合が無限集合の場合は、個数を拡張した濃度という概念になるらしい
気になった点:p.11「ちょっと一言」より。
>二つの有限集合AとBについて、もし|A|≠|B|ならば、A=Bになることは絶対にありません。すなわち、|A| = |B|であることはA=Bであるために必要な条件です。
上の部分で
A = {1,1,1,2,2,3} , B={1,2,3}でも上記の定義を満たすので、A = Bと言える とあった。しかし、この例では
|A|≠|B| ではないのだろうか。それとも、|A|とした場合、重複する項目はカウントしない？
結城先生より直接リプライをいただいた
>A={1,1,1,2,2,3}という場合|A|=3になります。
>
> 集合では「属しているか否か」しかわからないので「どういう順番になっているか」や「同じものが何個入っているか」は考えません（考えることができません）。
>
> その意味で、|A|はarr.lengthと似てはいますが異なるものです。配列ではどういう順番で入っているかが重要ですし、同じ物を複数個入れることができるからです。
なるほど
共通部分
集合Aと集合Bの両方に属している元全体の集合
A \cap B
プログラミングで言えば、
return arr するようなもの和集合
集合Aと集合Bの元をすべて集めた集合（少なくとも片方に属している元を集めた集合）
A \cup B
重複分はカウントされない
部分集合
定義
>集合Aの任意の元が集合Bに属しているとき、AはBの部分集合であるといい、
>A \subset B
>と表記します。
B \supset A
と表記することもできる。
これは数学的な主張（命題）であり、プログラミングでいえば、TrueかFalseを返すもの
冪集合
集合Sの部分集合をすべて集めた集合
2^A
\mathcal{P}(A)
空集合および、自分自身も含まれる
記述の参考にしたページ