超準解析入門
1: 集合
任意の集合はある論理式\phi を用いて S = \{x \in U | \phi(x) \}と表せる
2: 濃度
|N| < |P(N)|
連続体仮説 |N| < |A| < |P(N)| となるAは存在しない
「ZFCから証明できない」と証明されている
3: ベルンシュタインの定理
集合A、Bは無限集合とする。AからBの部分集合への1:1対応fがあり、BからAの部分集合への1:1対応gがあるなら、AとBの間に1:1対応がある
4: 公理的集合論
5: 選択公理
Rの部分集合Aが上に有界ならAの上限sup Aが存在する。Aが下に有界ならAの下限inf Aが存在する。
コーシー列
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall p, q \in \mathbb{N} \quad(p > q > N → |a_p - a_q| < \varepsilon)
収束列はコーシー列である
コーシー列が収束列であることは超準解析を使って13.3で示される
有理数からなるコーシー列を利用して実数を構成する
\forall \epsilon \in \mathbb{Q}^+ \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall p, q \in \mathbb{N} \quad(p > q > N → |a_p - a_q| < \varepsilon)
有理コーシー列の集合を\mathbb{Q}^\#とする
有理コーシー列a_n, b_nに対して\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0 は同値関係
有利コーシー列の集合からこの同値関係で商集合を作れる
この集合が実数っぽい
10で使う
9: フレシェ・フィルター
フィルター
自然数全体の集合Nの部分集合F \subset P(N)の族が以下の条件を満たすときFをN上のフィルターという
1:N \in F
2: 0 \notin F
3: (A \in F \wedge A \subset B) \to B \in F
フィルターに含まれている集合を部分集合として持つ集合はフィルターに含まれている
4: (A \in F \wedge B \in F) \to A \cap B \in F
フィルターに含まれている2つの集合の共通部分集合はフィルターに含まれている
さらに以下の条件を満たすと超フィルターという
5: \forall A \subset N (A \in F \vee A^c \in F)
どの部分集合Aについても、AがFに含まれるか、または、Aの補集合が含まれる
AとAの補集合が両方含まれる場合(4)によってその共通部分集合0もFに含まれるが、それは(2)に反する。というわけで両方含まれることはない。
\mathcal{F}_0 = \{ A \subset \mathbb{N} | A^c が有限集合 \}
実数列の集合から、フレシェ・フィルターを使った同値関係で商集合を作る
不等号の定義に使う
10: 超実数の構成
11: 超自然数
どのような標準自然数nに対しても|r|>nであるような超実数rを無限大数という
どのような標準自然数nに対しても|r|<1/nであるような超実数rを無限小数という
ゼロでない無限小数の存在
例: [(1, 1/2, 1/3, \ldots)]
これが無限小数であることを言うために\{n+1, n+2, \ldots\} \in \mathcal{F}が必要
定理D.4 p.106
FがN上の超フィルターである時、「Fは有限集合を含まない」と「FはF0を含む」は同値
F0とはフレシェフィルターのこと
フレシェフィルターの定義 p.38
\mathcal{F}_0 = \{ A \subset \mathbb{N} | A^c が有限集合 \}
この証明自体は簡単
「超フィルタがF0を含む」を示せれば\{n+1, n+2, \ldots\} \in \mathcal{F}が言える
補集合が有限集合だから
しばらく「超フィルタがF0を含むことをはどうやって示すのだ」と悩んでいた
考え方が逆だった、超フィルタは必ずしもF0を含まない
定理D.5「任意のフィルタFについてFを含む超フィルタが存在する」
超フィルタは複数存在しうる
「フレシェフィルタF0を含む超フィルタが存在すること」を示す
この証明にはZornの補題を使う
x-yが無限小数であるとき、xとyは「無限に近い」という
ある実数xに対して、無限に近い超実数yの集合をxのモナドという
12, 13: 数列の極限
\epsilon-\deltaを使わずに定義
\lim_{n\to\infty} a_n = a
\forall n \in *\mathbb{N}_\infty (*a_n \approx a)
無限大自然数であるnについてa_nがaに無限に近い
14
st: 標準実数を作る演算、定義はp.49
15, 16: 連続関数
17: 微分
ゼロでない無限小数で割る
18, 19: 超準解析による積分