「近さ」を表現する概念として素朴に「距離」を考える場合、2点間に距離という実数値が対応づくということを暗黙に仮定している。実数値であるということは全順序を仮定している。

しかし近さの議論をする上で、必ずしも全順序が必要でないユースケースがある。

位相では「より近い」が「包含関係にある開集合があり、内側の開集合の要素である」となるので、半順序になっている。

位相の定義

Xを集合とし、\mathcal{O} をべき集合 \mathfrak{P}(X)の部分集合とする。

\mathcal{O}が以下の性質を満たすとき、組 (X,{\mathcal {O}}) を X を台集合とし\mathcal{O}を開集合系とする位相空間と呼び、\mathcal{O}の元を X の開集合と呼ぶ。

1. \emptyset ,X\in {\mathcal {O}}

2. \forall O_{1},O_{2}\in {\mathcal {O}}~~:~~O_{1}\cap O_{2}\in {\mathcal {O}}

3. \forall \{O_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {O}}~~:~~\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}