無限集合の存在を主張する

公理

空集合を要素として含み、任意の要素xに対してx ∪ \{x\}を要素に持つ集合が存在する

論理式で書くなら

\exists A(\emptyset \in A \wedge \forall x \in A(x \cup\{x\} \in A))

以下の2つを含むような集合Aが存在する

\emptyset

x\cup\{x\}

\forall x\in A

\emptysetから始めて公理を適用すると

\emptyset

\emptyset\cup\{\emptyset\}

\emptyset\cup\{\emptyset\}\cup\{\emptyset\cup\{\emptyset\}\}

...

とやっていけば、これらは無限個ある

そしてそれら全部を元として持つような集合Aが存在する

というのが、無限公理の主張

だから、「無限集合が(少なくとも1つは)存在する」ことを言っていることになる

元xに対して、x\cup\{x\}を「xの次の集合」と見れば自然数が構成できそうな感じがイメージしやすい

後者関数をs(n)=n\cup\{n\}で定義する

各n\in\mathbb{N}に対し、n\in s(n)であり、n\sube s(n)でもある

ことがわかる