述語論理における解釈 (論理学)のこと

即ち、定数記号, 関数記号, 述語記号に対する解釈のこと

述語論理の意味論のこと

構造は以下からなる

対象領域 D

個々の変数ごとの動き回る領域

空でない集合

関数記号、定数記号の解釈

U^n\to U

(nはその関数のarity)

述語記号の解釈

U^n\to \mathbb{B}

(nはその述語のarity)

記号の集合である一階の言語の解釈のことを、わざわざ「ストラクチャ」と呼んでいる

要は、集合と演算を定義することで、群のような数学的構造ができるのと同じ

言語に解釈を与えたら数学的構造になったので、ストラクチャと呼んでるだけ

命題論理と同じように「ただの解釈」と捉えても良いし、

数学的構造のことを知っているなら「数学的構造」と捉えても良い

参考

良い

↓昔のメモ、

↓授業のやつのメモ

拡大言語L(M)

Mの要素全てに名前をつけられるようにLを拡張した言語

ということは、L(M)の個数と、Mの個数は一致する #??

こういうイメージ|L|\lt |L(M)|=|M|

L(M)の元は、「言語の組み合わせでできる全ての論理式」になるのか #??

ならない

それはまた別の話

L(M)はただの言語であり、それを組み合わせた論理式そのものはL(M)の中には入っていない

記号の意味

\underline{x}はL(M)の要素

x\in Mに対応

Mの元は値になる

evalの引数が値ならそのまま、論理式なら簡約結果

\mathrm{eval}_\mathcal{M}(T\land T)のように論理式に演算が含まれていた場合、その簡約結果のTが元になる

evalってどこからどこへの関数なん

L(M)→Mだと思ってたが、

Γ→Mでもあるのか？

とりあえず なんか→対象領域M ではあるっぽいな

p.23で言っていることがわからん

引数の簡約の順番の話？

Lでは名指しできずに足りなくなって、L(M)が必要になる機会がわからん

以下の群の例を見てみたらわかる

L=\{e,\ast,=\}しかないのに、Mの要素は無限個ある

この差を埋めるために無言語の要素を持つL(M)を用意している

L(M)に含まれる要素の具体例を知りたい、\Gammaとの違いがわからない

\Gammaは論理式の集合だ

この論理式はLの中の要素の組み合わせで定義される

ただの論理式ではなく公理だ

つまり、「Lの要素のすべての組み合わせでできる論理式」のような雑なものではない

必要な記号だけを用いた最小の公理だ

『学んでみよう！記号論理』 11章