ε-N論法を使った数列の極限の定義

\lim_{n\to\infin}a_n=\alphaであるとは、以下が成り立つ時に言う

\forall\epsilon,\; \exist N(\epsilon)\in\mathbb{N},\; \forall n\in\mathbb{N} \; [n\ge N(\epsilon)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon]

日本語で言うと、

任意の正の数\epsilonに対して、

ある自然数N(\epsilon)が存在して、

n\ge N(\epsilon)ならば、

|a_n-\alpha|\lt\epsilonが成り立つ時、

数列\{a_n\}は\alphaに収束するという