1から1111^{2018}\equiv(-10000)^{2018}=10^{4\times2018} \pmod{11111}

2018は偶数なので符号は正になる

10^5\equiv 1 \pmod{11111}なので、10^{5(1614)}\equiv 1^{1614}=1 \pmod{11111}

4(2018)=8072=5(1614)+2なので10^{4\times{2018}}\equiv 10^{5(1614)}10^2 \pmod {1111}

よって10^{4\times{2018}}\equiv 10^{5(1614)}10^2=1(10^2)=10^2 \pmod {1111}

日本？数学オリンピックの予選

合同式の商

5と11111は互いに素