オイラーの公式
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
二式目にiをかけて足すと
\cos(x+y) + i\sin(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y + i(\sin x \cos y + \cos x \sin y)
= (\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)
ｘで微分すると
\frac{d}{dx}(\cos x + i\sin x) = - \sin x + i\cos x = i(\cos x + i \sin x)
よってf(x) = \cos x + i \sin xとすると
f(x+y) = f(x)f(y), \frac{d}{dx} f(x) = if(x)
を満たす
これは指数関数exp(x)とにている
e^{ix} = \cos x + i\sin xといえるのではないだろうか
これは、e^{ix}を冪級数展開すると
偶数番目と奇数番目に分けると、
e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} ...
= (1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...) + i (x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -...)
= \cos x + i \sin x