Physics 1602 3 Electrostatic Fields
ただ、Physics 1602 2 Electric charge and electrostatic interactionsは当然causalityの問題がある
全ての影響が瞬時に伝わるのはSRと矛盾
Eからqが出てきた所を確認
そこで、Electric Vector Fieldを考える E(r)
\vec F = q\vec E(r)
これは、ある一つのlocationでEが定まっているだけなので、causalityの問題がない(?)
Fieldを足せる
Fieldをxyz componentに分ける事できるみたいな話をしていた
とりあえずElectrostatic（Charge functionが一定、chargeが動かない）という状況を考える
fieldを定義したい
こうなって、変形すればE(r)が分かる
それはそう
E fieldの捉え方
二つのchargeとか、遠くからしたらほぼ一つのまとまったchargeと捉えられる
binomial approxで導出する方法理解すべき
想像している状況
(0, 0, ±d)という感じで、z-axis上のどこかにchargeがある
>1. x = 0 - i.e. we evaluate the field on the z axis
z-axis上でのfieldを考える
> 2. z = 0- i.e. we evaluate the field along the x axis
x-axis上でのfieldを考える
これは結構非自明な動きで、x=±d/√2の時にfieldが最大
quadraple fieldはもっと複雑
Continuous Distribution
discreteのやつのinfinitesimal limit
λ
uniform charge densityとした時に、charge / unit length = λ
chargeの線があるやつ
xとy compinentに分けて、複雑な積分（置換したり）を頑張ると計算できる
大事なこと
x >> Lなら、一つのchargeとしてみれる
x << Lなら、1/x^2ではなく1/xで変化する (?)
この結果は、cylinderical symmetryを使えば、任意のaxis（r-perpendicular)で使える
ring charge
r-perpendicularなtermは逆方向でcancel outするので、無視できる
z-direction
円周の2πRは積分ででてくる
例によって、z >> Rなら1/z^2で変化する
electric potential
conservative F = -∇U
conservativeなのは、あるrに常に同じFがかかるfield
それはそう
conservative E field E = -∇φ
Forceの代わりにFieldなので、単位はC分違う
ので、φはpotential energyではない！
Δφ = \int \vec E d\vec r
φの単位は、length * force / charge
これがvoltになる、なるほど〜
これはAPMAE2000 Multivariableでやった通り、
∇Φ+cと∇Φは同じ
Eは一番Φの変化が大きい方向に向く
Fieldが0でも、Potentialは0でないことは当然ある
それはそうだけど、force cancel outな状態とかを見てpotentialも0だと勘違いしないように
めっちゃシンプルに、charge x 1/distanceがpotentialという値
それのderivativeがForce、みたいな捉え方ができる
distanceしか関係ない = Rotational Symmetryがある
なので、例えばring chargeのpotential計算とかめっちゃ簡単
ring charge 4.3.1のはなし読みたい
symmetry
inversion symmetry: 例えばp(x)=p(-x)な時
φ(x)=φ(-x);
そうなると、Φ(0)の時の-E = ∇Φ = 0になるのがわかるのか
つまり、Forceが0
E_x(-x) = E_x(x)
potentialが逆になったら、傾きも反対なのはそう
これからも、E_x(0) = 0 なのがわかるな
ただ、y-componentとかは0ではない
これを見ればわかる
逆のinversion symmetry: 例えばp(x)=-p(-x)な時
x=0において、Eのy, z componentは0になる
なるほど、field lineで確かにその辺りは左右だけ向いているイメージ
translational symmetries: 例えば p(x) = p(x+Δx)の時
この時、pはxに関してinvariant
結果ΦもEもxに関してinvariantになる
Eはgradient of φ_x = 0になるのか
これは、inversion symmetryでもある
rotational symmetry
ringであれば、radial componentと、z componentの二つの関数になる
radial componentが0ならradial directionのEが0なのは、inversion symmetryからわかる
"infinite set of inversion symmetry"、なるほど
その結果、全ての方向のE_componentが0なので、\vec E = \vec 0になる
infinite cylindrical symmetry
二つを合わせたらこうなる
r perpendicular 方向にrotational symmetry
z 方向にtranslational symmetry
disk chargeだと、微分した結果Φは|x| proportionalになる
termにσ = q/πR^2が含まれているので、dimentionは問題ない
この時、gradient = E-Forceは一定になる
これがuniform electric fieldになるのか
