はじめての集合と位相 ：第五章 集合演算 の拡張と 実数
from はじめての集合と位相
方針
自力で考え方を編み出すのはできるかもしれないが時間がかかるので、できるだけ素早く答えはみる
ただし、その時はどうしてその答えに行き着いたのかについて考察すること
問題のどこに着目して
なぜそこに着目したのか、そのきっかけを言語化すること
ここのメモ書きは雑に書く。
この問題には長く詰まっていたので、しっかり書く。
数に2通りの無限小数表現があったら、その数は有限小数である
目標を調べる
x = a_0.a_1 \cdots a_nのような形で表したい
要するに、途中で打ち切った形で表したい。
手元にある無限小数表現aを打ち切りたい
大小関係を使って、途中で打ち切ることが考えられる
a = 0.49999\cdotsとb = 0.500000\cdotsを見比べてみる
最初に変わる桁では1しか変化しない
a, bをどうにかして関連づけて論じたい
無限小数を途中で打ち切ればa \leq bと言えるので、これを使おう
ある桁で差がついていたら、それ以降の桁をどういじろうとも変わりようがない
極限だからa = bと同一視できる
x = a \leq a_0.a_1\cdots (a_n+1)\leq b_0.b_1\cdots b_n = x
で挟んで、有限小数とxを結べば目的を達成できる
与えられた値xの無限小数部分を引き算で打ち消してやる
ちょうどよく消えるように10^-k 倍してやろう
頑張って割り算する
原理
それぞれの桁は0, \cdots, 9のいずれかで
d桁目の後の桁はd桁目の値だけで決まる
スキップ
要するに
順序体の定義
-P \cup \{0\} \cup PがFの分割
Pが0を含むと、-Pにも0が含まれる
x + y, xy \in Pの条件は、x, yどちらも正数であることを意味する。
定義5.10 収束する単調増加数列
導入がうまくてスキ
(1)は上界
(2)は到達可能性
y以上x以下の領域に到達するx_nが存在するかを問うている
yはxに限りなく近いときもある
もし単調増加性がなかったら？
途中で数列x_nがxにへばりつけば、あとはxに近づかなくてもOKになる
--> このケースは潰したいので、単調増加性をつける。
ε-δ論法において、\exists N\in \N; \forall n > N;と二段構えになっている理由
y < x_nにおいて<が\leqじゃない理由は？
\forall y < xが\leqじゃないのはわかる
xに異なる値を取りながら限りなく近づく例を取り入れられなくなってしまう
> 数列の極限の定義には２つの不等号がでてくる。それぞれ≤か<のどちらかだ。ところが、どの組み合わせをとっても数列の極限の定義としては同値になる。それを示す問題。
ほう、そうなんか
上に有界な任意の単調増加数列は収束する。
「本質的に」一つしか存在しない、ってどういうことなんだろう
複数構成したとして、要素として体の構造を保存する全単射が作れるのかな
ともかくそれを実数\Rと呼ぶらしい。
どんなy < xに対してもy < x_n < xなるx_nを取れるっていうのが重要なのか？
\mathbb{Q}でも同じように成り立つ気はするけど（有理数の稠密性）
上に上界な「任意の」単調増加数列で収束するんか？ってって言われるとウッってなる
おぉ〜（感動ポイント） すご
実数xを取るとそれより大きい自然数が存在する。
- 01:31 > 解けそうなので1:41まで拡張
連続性の公理から導かれるらしい、そうなんすか？
長さ1の区間に分割して、数学的帰納法を走らせてもなんかいけそうな予感。
目的
ある実数aに対して、a < nを満たす自然数nが存在しないと仮定するとどうなるか？
つまり、全ての自然数nに対してn \leq aってことだよな
ん！？これって上界が存在することになるな...
明らかにおかしいが、これがおかしいと直接示しにかかるのは、最初の命題と同じ問題になる。
連続性の公理を使うとなると、a_n = nは有界だな（矛盾した発言）
n = xであるとは限らない
つまり、xにどれだけ近い値yをとっても、どこかのx_nはy以上x以下の範囲で増え続ける
だけど、x_nはnが1増えると+1されるので...
yとxの区間が1以下のものを取ってやれば、条件1が崩れる。
公理ってついてるあたりから、昔はこれが公理だと信じられてたんだろうなあ しみじみ
「無理数のところにすき間がある！」テンション高くて好き
どんなに大きいxでもそれより大きい自然数が取れることはかなり重要
言い換えると、どんなに小さいεでもそれより小さい1/nが取れることになる。
ε-N論法に則って、\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = +0だということが示せる！
自然数であるという条件がこの定理の成立に欠かせないっぽいな
初項1 \in \Nが作れるのは、自然数に最小元があるからこそできる
a - 1 \leq x < a
整数なので、自然数の場合はアルキメデスの公理を使ってやればいい
上の式が成り立つことを背理法で確認できる。
負の数の場合はその結果を再利用する
とか言っておいて負の数の時忘れてたてへ
アルキメデスの公理が動くのは数列の初項があるからだな
有理数は自然数を割ることで作れるので、床関数の命題をそのまま使いたい
x < yの中にrを入れ込むにはどうすればいいかを考える。
床関数が「整数」単位で下界を作れることを考えると、
y - xの幅の中に入るように出来るだけ小さく等分割する。
このような分割は命題5.13から得られる。分母はこれで決める。
a - 1\leq 1/(y-x) < a
あとは、xを超えるように分子bを取る。
b-1\leq ax < b
b-1/a \leq x < b/a
あとはy > b/aであることを示ればいい。
y - \frac{b}{a} > 1/a + x - b/a > (ax - b - 1)/a \geq 0
仮にyを近似の対象とすれば、
y-1 < r_1 < yなるr_1\in \mathbb{Q}が取れる。
r_1 < r_2 < yなるr_2\in \mathbb{Q}が取れる。
r_2 < r_3 < yなるr_3\in \mathbb{Q}が取れる。
\vdots
このとき、\lim_{n \to \infty} y - r_n = 0か？
（必ずしもそうではないが、そうなる数列もある）
もう少し条件を付け加えたら、yに収束する数列r_nが作れそう